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发现数学,发现儿童

——做学生数学发现的引路人

 
 
 

日志

 
 
关于我

我,70后,中学高级教师,江苏省优秀青年教师、省特级教师后备,省教海探航杰出水手,无锡市名教师、无锡市优秀教育工作者、无锡市行知式青年教师,江苏省教育学会小学数学专业委员会会员、历任江苏省江阴市华士实验小学教导主任、校长办公室主任,新桥小学副校长,江阴市教育学会小学数学专业委员会副秘书长、江阴市小学数学中心组成员。三次获江苏省教海探航征文一等奖,三次获得省杏坛杯征文一等奖,连云港市中小学青年教师教学基本功大赛一等奖,有近200篇文章在《人民教育》《教学与管理》等核心期刊或主流期刊发表。

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在过程中感悟数学的魅力  

2017-04-12 14:09:41|  分类: 教学论文 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文发表于《小学数学教育》2017年第1期

 

内容摘要:学生是学习的主体,学生学习是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程,是学习主体自主建构的过程,他人无法包办代替。数学,不仅仅是一个结果,数学是一个有生命的种子,具有内生性,结构性,生长性。在数学教学中,笔者倡导让学生学“有过程”的数学,在过程中深入数学内核,理解数学概念,体验数学生长,感悟数学的魅力。

关键词:数学;过程,学习;价值;实践

 

旅行的目的不是为了急着赶到目的地,脚踩大地,抬头看天,沿途随处都有好风景。

                                                                     ——题记

《义务教育数学课程标准》(2011年版)在“课程基本理念”部分,从“内容”、“组织”、“学习”、“评价”等方面全方位强调挖掘和重视“过程”的教学价值与教育意义,明确指出:“课程内容不仅包括数学的结果,也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。课程内容的组织要重视过程,处理好过程与结果的关系。学生学习应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。评价既要关注学生学习的结果,也要重视学习过程。”①北师大喻平教授将知识分为“陈述性知识、程序性知识和过程性知识,并指出“过程性知识”是伴随数学活动的体验性知识,它是内隐的、动态的。②学生学习不是对学习内容机械被动的反映,而是他们以自己已有知识经验为基础进行的积极自主的建构过程,教师无法包办代替,过多的干预行为会阻碍学生独立思考,影响学生自主建构,使学生无所适从,无所作为。“有过程”的数学,让孩子经历数学内容、数学方法、数学策略、数学规律产生的全过程,体验数学的内生性、结构性、生长性,让学生在过程中感悟数学的魅力。

一、探寻“有过程”的数学价值

1、在过程中深入数学内核

“只有挖掘和沟通具体知识与学科思想方法之间的内在联系,围绕学科核心内容将知识与认知过程进行整合,才能帮助学生形成较为系统的知识结构和认知思路,从而使他们的认知结构和对知识的深层理解获得同步发展。”④数学的本质是思维的对话,数学教学要培养学生学会数学地思维。在探寻数学知识本质与内核的过程中,感悟与体验数学知识的生长性。

例如在教学《认识分数》时,首先等分圆形,知道半个圆可以用2(1)来表示。即把一个圆平均分成2份,每份是它的2(1)。接着让学生找一找长方形、正方形的2(1),甚至还可以是几个东西的2(1),让学生的思维有一个拓展。明确只要把物体平均分成2份,每份都是它的2(1)。这里弥补了学生认识的单一性和表面性。往往大家会让学生用各种长方形、正方形的纸折出二分之一,或者在几何图形上涂出二分之一的部分。

通过这样的过程性学习活动,学生把2(1)与半个长方形、半个正方形等直观图形建立了有意义的内在联系。折、涂等操作探究过程的设计本身有局限,使得学生对于几分之一的概念的认识只能与几何图形相联系。因此这样的学习过程,都很容易导致学生对分数概念内涵认识的单一。但这只是“符号抽象”的分数概念,而不是“过程抽象”的分数概念。所以,教师对于形成过程的认识偏差,在于把分数“符号抽象”概念等同于分数“过程抽象”概念。这样,学生就很难真实经历分数概念的形成过程。其实,对分割对象是可以作出一定的变化。如接着研究长方形的二分之一的不同折法,可以横着折、可以竖折折、还可以斜着折,分割方法作出一定的变化,还可以进一步来研究三分之一、四分之一等等。延伸到每份→几份。经历过这样的全过程多方位的立体探究,相信学生对于分数的本质含义肯定有了一个更加深刻的理解,他的知识层面有了一定的拓宽,感受数学的内在魅力。

2、在过程中理解数学概念

奥苏贝尔指出:“学生的学习是在新旧知识发生联系的基础上同化习得的。”③在数学学习过程中,认识知识的源头,掌握它最初的形态,有利于孩子对于知识的理解、同化,在心中建构知识的图式,使之符合自己的认知结构,然后把知识吸收到认知结构之中。

例如在教学《数的组成、写数》时,对于一年级的孩子明白个位上的数表示几个一,相对还是较为简单,可是要理解十位上的数表示几个十,着实不易,就是在重复了N遍之后还是会不知所以然,一头雾水,甚至有人个位、十位都找不对。于是我尝试给学生讲述数学史发展过程,有了不错的反响。故事是这样的:

师:在远古时候,野人是靠打猎为生的,他们在数收获的猎物时,会把动物的数量记录下来,一只动物就会用一块小石头来记录,那么如果有5只动物,他们会怎么做呢?

生:会选择5块石头。

师:对呀,野人也是这么想的,那么等到10只动物时,他们又是怎么做的呢?

生:可以用10块石头呀!

师:有没有不同的想法了呢?

生:可以换一个东西呀!

师:等到满了十只,就选择一块大石头来表示,和小朋友想的差不多。可是日子久了,找大石头和小石头比较麻烦,这可怎么办才好呢?

生:可以把小石头放在不同的地方,就可以知道了呀。

师:是呀,野人就想到了一个好办法。用木板隔开,在一个地方放的石头就表示一只一只的动物,在另一个地方放的石头就表示十只十只的动物。

……

孩子们在理解数位顺序的时候有了一定的想象,让每个孩子都能插上想象的翅膀,翱翔在数学知识这片广袤的天空中,这样孩子们才会学得轻松愉快。

3、在过程中体验数学生长

7——12岁儿童的认知结构已经具有了一定的抽象概念,因而能够进行初步的逻辑推理。他们的逻辑推理是具体的,需要借助具体事物、现实情境进行思考,心智发展水平决定了他们还不能使用纯粹的符号语言进行推理。在教学中要放手让学生去动手、动脑,探索外物,在过程中体验数学生长,获得丰富的数理逻辑经验,通过反省抽象,调整完善已有认知结构,丰富的学习过程给予儿童自我探究、自我发现的机会。

例如在教学《长方形和正方形面积的计算》中,课始复习面积单位,复习面积可以用不同的面积单位去测量。让学生经历探究的过程,先出示一个长方形一(长4厘米,宽3厘米),学生让学生探究面积是多少?他们知道只要用合适的面积单位去摆,学生得出结论是每行摆4个,摆了3行,这样一眼就能知道面积是12平方厘米。怎么知道面积是这么多的呢?学生会想到面积单位有12个。12是数出来的吗?有学生会联想到乘法。

接着我再出示一个长方形二(长8cm,宽6厘米),也让学生自主探究面积是多少?这时没有那么多1平方厘米的小正方形了,这时怎么办呢?有的学生会说我可以把缺了的数一数呀!这种方法也可以。还有的学生就会抽象出长方形面积的计算=每行个数×行数。

最后出示长方形三(长20厘米,宽15厘米)有的孩子还是会摆,不过他会摆一行的个数和一列的个数,逐渐找到它本来的面目了。其实看一行的个数还可以怎么办呢?能不能通过更加直接的方法来知道呢?这儿就直接抽象出长×宽。也许你直接告诉孩子面积的计算公式,他也会求,可是缺乏了过程的指引与铺垫,得到的知识是苍白无力的,过几天也许就忘了。当学生独立面对有时只是简单情境的改变或者是数字的改变的问题,就会让学生无所适从,实际上他们并没有真正经历一个问题的解决全过程,往往会束手无策。

二、实践“有过程”的数学教学

布鲁纳在《教学论》中指出:“我们并不是要在每个学生的头脑中建立一个学科方面的小型图书馆,而是要使学生自己能够以数学的方式进行思考,能够参与到知识获得的过程中来。认知是一个过程而非结果。”⑤在教学中,我们要努力创设有利于学生自主探究,独立思考的学习情境,给学生立体的经历,丰富的体验,多元的感悟,经历学习过程,让真正的深度学习发生。

1.重视操作过程,感悟直观数学

教师在数学课堂教学中精心设计并有效组织探究活动,为学生提供表达、质疑、探究、讨论、问题的机会和过程,让学生操作与思考自然融合,感悟数学直观的同时,发展抽象思维。

如:《周长和面积》这节拓展课。我安排了四个活动层次:

第一层次是基本练习,理清概念。出示长方形,揭示周长和面积的本质。

第二层次是对比练习,感知规律。通过观察、口算两图周长和面积,让学生直观感知:面积相等的图形,周长不一定相等。

第三层次是深化练习,发展思维。这一层次的教学相对于学生来说比较难,主要让学生借助直观,初步感知长方形、正方形周长和面积之间的关系,并不要求每个学生都能掌握。课中设计了“用16个边长l厘米的小正方形去摆长方形或正方形”,“用16根1厘米长的小棒去摆长方形或正方形”两个探究发现活动,让学生在动手操作活动中观察、分析、思考探索周长和面积之间的关系。这些活动提供了蕴涵本课数学知识和数学思维的现实客体,学生通过活动获得了这方面的感性活动经验。教师再适时引导学生对活动进行反思、总结。如:面积一定时,周长在一定范围内变化;周长一定时,面积在一定范围内变化,感知周长和面积两个概念既互相依存又互相制约,这是学生以前所没有想到的,渗透了变与不变的数学思想。亲身实践未必有深切的体悟。针对学生目前学习的状况,教师必须适时引导。“用16个边长l厘米的小正方形摆完长方形或正方形后,仔细观察表格,有什么发现?“仔细观察周长都是16厘米的长方形或正方形,又有什么发现?”少数学生通过自己动手操作,已经有所感悟、发现,但无法用语言表达或不能准确地用语言表达。这时教师需要针对学生的困惑,启发引导学生观察、比较,让学生感悟到这个变化存在着一定的规律。学生经历了“动手操作——抽象思维”这一全过程,头脑中不仅有了“摆”这一过程,更重要的是发展了数学思维能力。

第四层次是拓展应用,提高能力。要使数学直观经验更长效地纳入学生的个体知识结构,还需要经历一个概念化和形式化的过程,这是直观经验向“数学思想”升华的必要途径,这样积累的经验才能最终沉淀到他们的内心深处,成为一种素质和能力,受用一生。

2、重视建模过程,感悟抽象数学

抽象概括是形成概念、得出规律的关键手段,也是建立数学模型最为重要的思维方法。学生学习数学,需要充分地经历观察、思考、比较的过程,获取丰富的感性经验,再从许多数学事实或数学现象中舍去个别的、非本质的属性,抽象出共同的本质属性。

教学“加法交换律”,通过一系列教学环节得到了如下算式:28+17=17+28,4+3=3+4,20+40=40+20,82+0=0+82……之后,教师引导学生发现这些算式中共同的规律。

生:把相加的两个数交换之后,它们的结果相等。

师:交换了什么?在加法中的结果可以说成──和。谁来再说一下?

生:交换加数的位置,它们的和不变。

师:像这样的等式你们还能写出多少个?

生:可以写无数个。

师:写不完,怎么办?

生:我用a+b=b+a表示。a表示一个加数,b表示另一个加数。

师:如此好的办法,真不简单!

许多数学问题在貌似不同的数学情景背后,往往具有相同的思维模型。因此,抽象、概括可以加深学生对事物本质的把握,隐性的经验在严密的逻辑推理和活动积淀中逐步形成,提升解决问题策略经验的同时,感悟数学抽象的奥秘。

3.重视思辨过程,感悟极限数学

教学要基于儿童的视角,重视儿童的思辨过程,以儿童原有认知发展水平和已有经验为基础,处理好教学内容的层次性和多样性,构建出课堂多向的数学思维模式。

如“圆的面积”的教学

师:(课件出示一个圆)要知道这个圆的面积,怎么办?

生1:可以把它转化为我们学过的图形。

师:怎么转化?

生2:把圆平均分。(课件演示把圆平均分成了2份,把两个半圆使劲地拼,结果还是一个圆。)

师:转化不成已经学过的图形,怎么回事?

生2:平均分的份数不够多。

师:是这样吗?那我们分得多一些,请大家仔细观察。(演示把一个圆分割为完全相同的小扇形,并试图拼成长方形。从平均分成4个、8个到16个。)

生3:16个拼起来,比较像长方形。

生4:分的份数越多,拼成的图形就越接近长方形。

师:你们都同意他的看法吗?那我们再来分一分这个圆。(课件演示把圆平均分成32个、64个……完全相同的小扇形。)

师:大家仔细看一看,想一想,如果一直这样分下去,拼下去会怎样?

生5:拼成的图形就真的变成了长方形,因为边越来越直了。

师:拼成的长方形与原来的这个圆究竟有怎样的关系啊?……

以上推导过程,均采用“化圆为方”、“变曲为直”的极限分割思路。在“观察有限分割”的基础上,“想象无限细分”,根据图形分割拼合的变化趋势,想象它们的终极状态。这样不仅使学生掌握了圆的面积的计算公式,而且非常自然地在“曲”与“直”的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想,发展了数学思维。师生相互探究活动,使学生经历了完整而深刻的思辨过程,这种多向数学思维模式引领的课堂教学,比学生或教师单独体现思维教学主线更加高效。

4.重视游戏过程,感悟快乐数学

课堂教学应是充满游戏精神的。因为“游戏是儿童成长的基本需要”。正如马丁·加德纳所说,“唤醒学生爱上学习的最好的办法是向他们提供有吸引力的数学游戏”这样的课堂才能成为生命的家园。“有什么样的内心,就有什么样的世界”。一个人,如果觉得什么事情都好玩了,那么生活中任何事,任何人,在他眼里就是富有意义的,具有趣味的。儿童觉得好玩了,学习就不再是原本意义上的“认知过程”,课堂就成为了学生的“生活场”。在这里,他们享受学习,他们有自己的语言,自己的思考,自己的情感,自己的态度与自己的欢悦。课堂教学“应是一种精神的漫游,应该是好玩的有趣的。”(北京大学钱理群教授语)

如三年级上册118~119页《掷一掷》教学片断:

师:同学们,今天,老师想和你们玩一个游戏。我手上拿的纸盒里装着标有字母A、B、C、D、E、F的乒乓球各一个,请你来闭着眼睛随手摸一个球,可能摸到几号球呢?

(教师摇晃盒内的球后,请学生1闭眼摸一个,同时请学生们猜猜他摸到的是哪个球?)

生1:他摸到的是A号,

生2:他可能摸到B号,也可能摸到C号,D号或E号或F号

(学生猜后,教师让摸球的学生出示摸到的球。猜对的同学欢呼雀跃)

师:想一想,我们能事先确定摸到几号球吗?

生3:不能,A到F都有可能被摸到。

生4:6个球被摸到的机会是一样的。

师:如果想摸到的球肯定是A号,那么我们可以怎么办?

生5:多放几个A号球。

生6:不行,要全部放A号球。

师:为什么?

生:因为每个球都有可能被摸到,只要有一个球不是A号,就有可能摸到这个球,如果全部是A,随便你怎样摸,摸出的球肯定是A号。

预测“某一事情发生的可能性”,于学生而言比较抽象,不好理解。而“玩”,却能很好调动学生的学习主动性,在“玩”中,学生去主动建构知识:初步掌握“预测某一事情发生的可能性大小”的基本方法。真正成为了学习的主人。

5.重视互动过程,感悟生长数学

针对教学重点和难点的素材,利于学生思维不断深入,从而获得思维的“拔节”。教师除了要准确的把握每节课的重点难点,还应换位思考,学生在学本课的内容时候哪些地方容易出现错误?学生困惑集中在哪里?结合对学生情况的了解提供素材。

例如:三年级下册《认识分数》中,学生认识了把4个桃子平均分给4只小猴,每只小猴分得这些桃子的四分之一。但是这个四分之一中的一份恰好是1个桃子,如果是2个桃子呢?对于四分之一中的“1”是表示一份,学生还是模糊的。所以又给学生提供了一个学习资源:将8个桃子平均分给4只小猴,每只小猴分得这些桃子的几分之几呢?

在学生分桃子的基础上,教师引导学生将自己的想法展现出来:

生:把8个桃子平均分成4分,每只小猴分到2个桃子。

师:为什么每只猴子分到2个,不是3个,不是4个?

生:因为把8个桃子平均分成4份,每份是2个。

师:哦,2个正好是1份,每只猴子其实也是分到1份。几份中的1份?就是这些桃子的几份之一呢?

生:4份中的1份,就是这些桃子的四分之一。

通过学生的发言,我们发现学生对于2个桃子是8个桃子的四分之一不能顺利理解,需要教师的引导。为了展现知识的本质,教师让学生进行第三次分桃子。将12个桃子平均分给4只小猴,每只小猴分得这些桃子的几分之几?这次学生很快就说出每只小猴分得的桃子是这些桃子的四分之一。学生已经能够用份数的眼光来观察部分与整体的关系。

学生三次分桃子的过程是对自己原有的经验结构不断的调整和扩充的过程,1个桃子是4个桃子的四分之一比较直观,学生比较容易接受,2个桃子是8个桃子的四分之一,学生要把2个桃子的具体数量转化为份数,2个也是1份,需要形成新的知识结构,用份数的眼光来观察部分与整体的关系。到第3次分桃子,学生能用上新的经验来处理问题。可见,学生的学习需要类似的环境,以便在相同或类似的环境中迁移概括,顺利的在原有知识结构上不断充实自己的结构,实现思维的“拔节生长”。

课堂由于学生的积极参与,显得灵动活泼,学生之间的对话让我记忆深刻。他们通过自己的互动讨论交流,厘清问题本质,探究问题内核,而教师恰当地引导、引领,让学生经历学习的真过程,相信对分数的认识已经深入到了每个孩子的心中,学生真正自主地理解和内化数学知识,达成“意义建构”的最终目标。

 

数学学习必须经历一个平衡、不平衡、再平衡的过程,我们的教学要让儿童充分理解,参与数学学习全过程,积累经验和体悟,掌握知识和方法,感悟数学思想,让儿童获取可生长的知识结构、可再生的认知结构,使得知识技能的习得成为体验过程的附加值,而不是“终极目标”。

参考文献:

[1] 教育部.数学课程标准(2011年版)[S].北京:北京师范大学出版社,2012:2—3

[2] 喻平.数学教学心理学[M].北京:北京师范大学出版社,2010:40—41

[3] 周建秋.先行组织者:一项指向学生有意义学习的教学策略[J].现代中小学教育,2015(5):43—44

[4] 朱圣辉.两节“不同类型的晶体”同课异构引发的教学思考[J].现代中小学教育,2015(6):75

[5] 布鲁纳.教学论[M].北京:中国轻工业出版社,2008:62

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