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发现数学,发现儿童

——做学生数学发现的引路人

 
 
 

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关于我

我,70后,中学高级教师,江苏省优秀青年教师、省特级教师后备,省教海探航杰出水手,无锡市名教师、无锡市优秀教育工作者、无锡市行知式青年教师,江苏省教育学会小学数学专业委员会会员、历任江苏省江阴市华士实验小学教导主任、校长办公室主任,新桥小学副校长,江阴市教育学会小学数学专业委员会副秘书长、江阴市小学数学中心组成员。三次获江苏省教海探航征文一等奖,三次获得省杏坛杯征文一等奖,连云港市中小学青年教师教学基本功大赛一等奖,有近200篇文章在《人民教育》《教学与管理》等核心期刊或主流期刊发表。

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本文发表于《河北教育》2016年第9期  

2017-04-12 14:13:47|  分类: 教学论文 |  标签: |举报 |字号 订阅

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在活动中丰盈经验的羽翼

——对数学基本活动经验的理解与实践

浙江省宁波滨海国际合作学校   段安阳   邮编315830

作者简介:段安阳,无锡市名教师,江苏省特级教师培养对象,曾获全国教科研先进个人,全国优质课一等奖,大市教学基本功大赛一等奖。《江苏教育》、《教师博览》、《学周刊》、《教育研究与评论》、《教育旬刊》、江苏教育新闻网等主流媒体对其教学主张和成长历程作专题报道。应邀赴全国各地讲学交流近百场,多次担任省教海探航论文辅导讲师。有一百余篇论文在《人民教育》《江苏教育》《教学与管理》等核心期刊发表。

 

[摘要]数学基本活动经验是学生个人经验中的重要组成部分,是学生学习数学、提高数学素养的重要基础之一。它作为一种隐性的缄默知识,感觉非常抽象、操作性不强。教师可以向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在丰富缜密的实践活动、深入的思维活动中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,从而有效地丰盈积累学生的数学基本活动经验。

[关键词]数学活动;感性经验;操作经验;策略经验;应用经验。

 

数学学习是一种活动,这种活动与吃饭一样,不经过自己的体验,仅仅从看书本、听讲解、观察他人的演示是学不会的。世界上有很多东西是不可传递的,只能靠亲身经历和体验。《数学课程标准》(2011年版)将“基本活动经验”列入课程总体目标:“通过义务教育阶段的数学学习,使学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。这一数学教育价值目标的调整表明,我们对数学知识本质特征和内涵的理解发生了变化。数学知识不仅包括被整个数学共同体所认同的“客观性知识”(科学形态的表征),还包括从属于学生自己的“主观性知识”(个体认知的表征),即带有鲜明个体认知特征的基本数学活动经验。

一、叩问:数学活动经验是什么

经验是哲学范畴下的一个重要概念,现代汉语对这一概念的解释包含两种含义:其一是由实践得来的知识或技能,此为名词;其二是经历、体验,此为动词。洛克认为,每一个观念必定或者是直接来源于感觉经验,或者是由这样起源的观念组成。经验是对外的感觉活动和对内的反省活动。美国教育家约翰·杜威认为:“它不仅包括人们做些什么和遭遇些什么,而且包括人们怎样活动和怎样受到反响的,他们怎样操作和遭遇……它们实际上是在同过去经验有某些固定的结合或吻合的基础上形成的期望的习惯。”由此他得出关于教育的哲学命题:“教育就是经验的改造或改组。这种改造或改组,既能增加经验的意义,又能提高指导后来经验进程的能力。教育是在经验中、由于经验和为着经验的一种发展过程。”

儿童经验包含两层涵义:一是儿童经历的事物;二是儿童经验的过程,即怎样经验。狭义的“经验”即由实践得来的知识、技能,形成的习惯。数学不仅包含严密抽象的逻辑推理,海包含着非严密的基于教研的合情推理,数学既是理性思维的产物,又是人类的一种经验或拟经验的动态活动。因此,数学教学应顺应认知规律,为学生提供丰富的数学活动机会,让学生在动态的数学活动中学习数学。美国数学教育家戴维斯认为,数学经验是建构、理解、运用数学理论的经验,数学经验是在创造与发现数学概念和数学理论的活动中、在理解数学逻辑性的过程中、在解决问题的过程中获得的。

所谓数学活动经验是指学习者在参与数学活动的过程中所形成的感性知识、情绪体验和应用意识,它是一种缄默知识,包含了对数学的情感、态度、价值观以及对数学美的体验。也包含了渗透于活动行为的数学思考、数学意识、数学精神等,海包含处理数学对象的成功思维方式,以及思考抽象概念的思维方式等。何谓基本活动经验?史宁中教授指出,“基本活动经验是指学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验”。而基本数学活动经验是指在数学目标的指引下,通过对具体事物进行实际操作、考察和思考,从感性向理性飞跃时所形成的认识。数学经验是人们“数学现实”最贴近的部分。它是建立在人们的感觉基础上的,又是在活动过程中具体体现的,与形式化的数学知识相比,它没有明确的逻辑起点,也没有明显的逻辑结构,是动态的、隐性的和个性化的.它可以是深深铭刻在头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法,也可以是对数学活动的领悟。

二、践行:数学活动经验哪里来

经验的获得需要“领悟”与“转化”:学生通过参与具体活动获得具体经验;然后对所经历的活动通过回顾、反思等内在的思考,内化为能够理解的合乎逻辑的、抽象的经验;最后将获得的经验在解决新问题中进行证实和运用,重新领悟和创造为新的经验。

(一)在操作活动中丰富感性经验

在数学学习中,小学生认识事物带有很大的具体性和形象直观性。学习抽象的数学时,通常要从操作活动中获得和积累一些感性经验,丰富学生直观与感性认识,以此作为升华到理性认识的基础。

在数学活动中,学生通过外显的行为操作,对学习材料的第一手直观感受、体验和经验一般是直接经验。这类操作的直接价值并不是问题的解决,而是对学习材料的感性认识。例如,在研究“推导圆面积”问题时,学生利用学具剪拼圆,将圆拼成了一个近似的长方形,从而得出直观视觉印象:长方形的长就是圆周长的一半、长方形的宽就是圆的半径,这样就可以求出圆的面积了。这个过程,学生费时不多,但是亲自动手试一试的操作活动让他获得了将未知图形转化为已知图形的直观感受。尽管类似于这样的感知明显带有个体认识的成分,并且还存在肤浅、模糊的特征,但这类直接经验的获得,是构建个人认识不可或缺的素材。

如教学“长方体的认识”一课,到应用阶段时,我拿了一包A4纸问学生:“这是长方体吗?”学生很快答“是”。我抽去一半,又问:“这是长方体吗?” 学生仍很快答“是”。我再抽去一部分:“还是长方体吗?”学生答“还是!”最后,我抽出一张纸问:“这还是长方体吗?”学生们愣住了,很快开始争论,认为不是的学生说:“长方体有长宽高,而一张纸没有高。”,认为是的学生说:“一张纸当然有高,不然再多的纸叠在一起也不会有高度啊!”最终通过争辩学生一致认可了“一张纸也是长方体”。因此,在经验获得的初始阶段,应该尽可能地使一些操作活动为学生的认知提供一个较为正确、清晰的体验,而不是模棱两可、似是而非的感知。经验的全面性和准确性必须为教师所重视,在提供素材、组织操作活动时,教师也要考虑到上述因素。

(二)在探究活动中凝聚操作经验

教师在数学课堂教学中精心设计并有效组织探究活动,为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论、问题的机会,让学生操作经验与思考经验自然融合。如:《周长和面积》这节拓展课。我安排了四个活动层次:第一层次是基本练习,理清概念。出示长方形,揭示周长和面积的本质。第二层次是对比练习,感知规律。通过观察、口算两图周长和面积,让学生直观感知:面积相等的图形,周长不一定相等。第三层次是深化练习,发展思维。这一层次的教学相对于学生来说比较难,主要让学生借助直观,初步感知长方形、正方形周长和面积之间的关系,并不要求每个学生都能掌握。课中设计了“用16个边长l厘米的小正方形去摆长方形或正方形”,“用161厘米长的小棒去摆长方形或正方形”两个探究发现活动,让学生在动手操作活动中观察、分析、思考探索周长和面积之间的关系。这些活动提供了蕴涵本课数学知识和数学思维的现实客体,学生通过活动获得了这方面的感性活动经验。教师再适时引导学生对活动进行反思、总结。这就是把蕴涵在活动中的数学知识、数学思维揭示、抽取出来,提高新旧知识的联系与区别,从而改善学生的认知结构。例如:面积一定时,周长在一定范围内变化;周长一定时,面积在一定范围内变化,感知周长和面积两个概念既互相依存又互相制约,这是学生以前所没有想到的,渗透了变与不变的数学思想。

深切的体悟必定来自亲身实践,但亲身实践未必自然会有深切的体悟,针对学生目前学习的状况,教师在这一层次教学中必须适时引导,而且必须导在数学思维上。例如:“用16个边长l厘米的小正方形摆完长方形或正方形后,仔细观察表格,有什么发现?“仔细观察周长都是16厘米的长方形或正方形,又有什么发现?”少数学生通过自己动手操作,已经有所感悟、发现,但无法用语言表达或不能准确地用语言表达。这时教师需要针对学生的困惑,启发引导学生观察、比较,让学生感悟到这个变化存在着一定的规律:如“面积相等的长方形,周长不一定相等,长和宽越接近,周长就越短;周长相等的长方形,面积不一定相等,长和宽越接近,面积就越大”。“面积相等的长方形和正方形,正方形的周长最短;周长相等的长方形和正方形,正方形的面积最大”。学生经历了“动手操作——抽象思维”这一过程,头脑中不仅有了“摆”这一过程,更重要的是发展了数学思维能力。这里采用自主合作的学习方式,学生从学习中获得了积极的情感体验。第四层次是拓展应用,提高能力。就是要用学到的知识来解决一些简单的实际问题。本节课的教学设计是以教材习题为依托,教学内容适当进行延伸和拓展,这样有助于学生在想像、操作、比较中探索出规律性的结论,拓展学生原有的认知结构,使其几何知识和空间观念得到进一步的发展。

要使数学活动经验更长效地纳入学生的个体知识结构,还需要经历一个概念化和形式化的过程,这是经验向“思想”升华的必要途径,这样积累的经验才能最终沉淀到他们的内心深处,成为一种素质和能力,受用一生。

(三)在辨析活动中提升策略经验

抽象概括是形成概念、得出规律的关键手段,也是建立数学模型最为重要的思维方法。学生学习数学,需要充分地经历观察、思考、比较的过程,获取丰富的感性经验,再从许多数学事实或数学现象中舍去个别的、非本质的属性,抽象出共同的本质属性。

教学“加法交换律”,通过一系列教学环节得到了如下算式:28+17=17+284+3=3+420+40=40+2082+0=0+82……之后,教师引导学生发现这些算式中共同的规律。

生:把相加的两个数交换之后,它们的结果相等。

师:交换了什么?在加法中的结果可以说成──和。谁来再说一下?

生:交换加数的位置,它们的和不变。

师:像这样的等式你们还能写出多少个?

生:可以写无数个。

师:写不完,怎么办?

生:我用a+b=b+a表示。a表示一个加数,b表示另一个加数。

师:如此好的办法,真不简单!

许多数学问题在貌似不同的数学情景背后,往往具有相同的思维模型。因此,抽象、概括可以加深学生对事物本质的把握,隐性的经验在严密的逻辑推理和活动积淀中逐步形成,从而提升为解决问题的策略经验。

(四)在实践活动中提升应用经验

现实中,许多数学活动都会要求学生有多种经验参与其中,不仅有操作探究和思考的经验,更需要有应用的意识。在教学“表面积的变化”一课,出示了这样的题目:用两个完全一样的长方体拼成三个不同的大长方体,你有什么发现?哪个表面积最大?哪个表面积最小?

 

学生能够答出:体积不变,表面积发生变化。找出表面积最大和最小的,学生们都通过计算发现:三种不同的拼法都减少了两个面,但表面积减少的大小不同,第一种拼成的大长方体表面积最小,第三种拼成的大长方体表面积最大。通过提问“从题中发现表面积的变化有什么规律吗?”,学生思考后得出:用最大的面拼接得到的大长方体表面积最小,反之则最大。随后的包装磁带、包装书籍等实际问题中,学生应用并再一次验证了规律,又快又好的完成了解答。在计算房间面积、算刷墙壁需多少油漆、买瓷砖铺地要多少钱等等问题都在帮助学生积累应用性经验。应用意识需要教师在教学过程中更多地加以关注和发展,感性认识、情绪体验及应用意识的均衡发展,才有可能实现学生的全面发展。

朱德全教授说:“应用意识的生成便是知识经验形成的标志。”作为教师还应注重知识经验的课后延伸,使学生树立正确的数学应用观,让学生了解并掌握解决实际问题的一般思想方法,积累、发展、综合应用经验。

三、思考:数学活动经验教学建议

学习不是主体对于现实的简单、被动的反映,而是主体以自己已有知识经验为依托所进行的积极主动的建构过程。教学的过程,就是要成为不断激活学生经验的过程。只有在尊重学生已有经验的自主空间里,只有在平等的自由对话和刺激中,学生沉睡的经验才有可能被唤醒而处于积极状态,不断地被同化、调整、丰富或重构。

1、承上启下,关注经验衔接

每一经验都有取之于己往的经验,同时以某种方式结构为以后经验的性质。因此,在任何情况下,经验总有一定的连续性和承接性。活动前我们要试着考虑学生本类活动经验的起点在哪,如何让学生与之无缝衔接,也要思考此次活动能为学生留下些什么有价值的活动经验,为下个活动经验打下良好的起点。以《用计算器探索规律》(积的变化规律)一课为例,学生对于规律的探究活动已经积累了一定的经验。教学过程中,学生通过观察几个算式,说出了自己的发现,教师相机提问:能直接作为结论吗?我们还要干嘛?学生都能联想到这只是猜想,还要进行验证,才能得出结论,这些就是学生已有的活动经验。但在验证过程中,很多同学举例时只关注算式的形式,没能通过计算验证。那这时要向学生提出,验证时要有科学的研究态度,数学是严谨的,培养学生实事求是的学习态度。每次学生活动经验的积累,通过像这样承上启下的衔接,就能帮助学生形成完整的经验链。

2、激活经验,基于儿童立场

关注儿童的视角,研究儿童的心理,遵循儿童认知的发展规律。课堂教学的一切活动如果都能站在儿童的角度上去展开,教师的教学意图就能与孩子的学习行为产生共鸣,儿童们就能享受到真正属于自己的教育。如《百分数的意义》教学:讲台上放着三个透明杯子,里面分别放了10克、20克和50克的水。老师用汤勺向三个杯子里加糖,糖的数量依次为2克、3克和5克。

师:怎么样才能知道哪个杯子里的糖水更甜些呢?(生说。)

其中有一个学生:让我上来喝喝就知道了。

教师A:你就知道喝。老师是让你用数学的方法去判断。哪位同学来说?

教师B:很好!这种方法最简单易行了。除了用口尝外,我们还能用什么方法知道哪个杯子里的水更甜些呢?

让我们牢牢记住前苏联教育家阿莫纳什维利的一句话吧:儿童回答教师提问的精确性,主要取决于儿童自己的经验的逻辑性,而不在于事物本身的逻辑性。

3、形成共识,关注错误倾向

每种经验,在一定程度上都会影响到获得更多经验的客观条件。尽管连续性原则以某种方式适用于任何事例,但现有经验的性质会影响应用这一原则的方式。因此,经验有可能朝错误方向延续,我们要及时关注学生经验的动态生成情况。以《认识三角形》为例,课前,教师给每小组4根分别长4厘米,5厘米,6厘米和10厘米的小棒,探索怎样的三根小棒能围成一个三角形,以此活动来探究三角形边之间的关系。操作活动中,学生通过小棒能否连起来这一直接活动经验判断是否能围成三角形,其中一部分学生因此没深入考虑两边之和正好等于第三边的情况,觉得能正好靠到的,以为也可以围成三角形。这时,一方面要借助课件直观演示,加深理解;另一方面可以从错误经验出发进行反思,形成正确的活动经验。这样,通过对一些错误倾向的感悟,培养学生认真踏实的态度,不轻易下结论。

四、展望:让经验的扎得更深

弗赖登塔尔说:“经验的数学即为自由发现的数学,比那些为教师或教科书作者强加的、局限于公理范围的数学更为重要”。儿童的智慧就在他的手指尖上,数学活动经验离开了活动,就不会形成。所以,在课堂教学中需要以学生经验为起点,激发学生的活动动机,为学生提供充足的时间和空间去思考、交流、内化、反思……重视发现和提出问题,及时总结提升数学活动经验,并在运用中不断丰富数学活动经验。杜威指出:“每一种经验就是一种推动力”学生生活经验是丰富的,它是学生数学学习的重要资源,教师应充分地调动和激活学生已有的生活经验,使其更加有利于促进学生主动进行观察、操作、实验、猜测、推理与交流等数学活动。在数学学习过程中学生不但能够利用生活经验进行学习,而且能在数学学习中获取广泛的数学活动经验,使数学学习成为一个生动活泼、主动而富有创造意义的过程。

 

【参考文献】:

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京:北京师范大学出版社,2012.8

[2]胡典顺.数学经验:内涵、价值及启示[J].中国教育学刊,2011,(2):44

[3]约翰?杜威.杜威教育文集(第5卷)[M].北京:人民教育出版社,2008.195

[4]约翰?杜威.杜威教育文集(第5卷)[M].北京:人民教育出版社,2008.319

[5]武江红.数学活动经验的内涵及特征探析[J].河北师范大学学报(教育科学版)2009,(2):107

[6]仲秀英.学生数学活动经验的内涵探究[J].课程?教材?教法,2010,(10):52-56

[7]孔凡哲,张胜利.基本活动经验的类别与作用[J].教育理论与实践,2009,(6):42-45

[8]张奠宙,竺仕芬,林永伟.基本数学经验的界定与分类[J].数学通报,2008,5):4

[9]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平,唐瑞芬,等译.上海:上海教育出版社,1995.139

[10]约翰?杜威.我们怎样思维? 经验与教育[M].姜文闵,译.北京:人民教育出版社,1991.263

 

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