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我,70后,中学高级教师,江苏省优秀青年教师、省特级教师后备,省教海探航杰出水手,无锡市名教师、无锡市优秀教育工作者、无锡市行知式青年教师,江苏省教育学会小学数学专业委员会会员、历任江苏省江阴市华士实验小学教导主任、校长办公室主任,新桥小学副校长,江阴市教育学会小学数学专业委员会副秘书长、江阴市小学数学中心组成员。三次获江苏省教海探航征文一等奖,三次获得省杏坛杯征文一等奖,连云港市中小学青年教师教学基本功大赛一等奖,有近200篇文章在《人民教育》《教学与管理》等核心期刊或主流期刊发表。

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数轴的本质、特征及教学建议  

2011-08-17 10:30:25|  分类: 教学论文 |  标签: |举报 |字号 订阅

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  本文发表于《小学教学》2011年第4期   

数轴的本质、特征及教学建议

说起“数轴”,老师们一定并不陌生,都知道数轴是初中数学学习的一个重要概念。但要是放在小学数学教学体系中来研究数轴的意义和价值,很多老师一定认为为时过早,认为这样是“超纲”行为,加重学生学习负担。殊不知,小学一年级数学教材就有了数轴的雏形,在整个小学数学学习历程中虽然没有明确提起过数轴这位老朋友,但是它一直和学生的数学学习形影不离。本文试就数轴的意义和本质,以及数轴在小学认数教学中的教学价值谈一些粗浅认识,与大家商榷。

一、  数轴的数学本质

数轴,顾名思义,是由数排列而成的。数轴的本质是一条直线,是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线(图略)。 

此定义道出了数轴的三要素:原点,单位长度,正方向。这条直线上的点和实数是一一对应的,从原点出发朝正方向的射线上的点对应正数,相反方向的射线上的点对应负数,而原点对应数零,在数轴上表示的两个数,右边的数比左边的数大。正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数。离原点一个单位长度处的两个点分别对应+l和-1。每一点所对应的数的绝对值等于它到原点的距离。

由于小学生数系知识的扩展以自然数、正有理数为主,所以在小学范围接触的绝大多数是数射线,即数轴的正半轴(图略),只是在学习负数时才认识完整的数轴。 

数射线为小学生学习自然数和分数提供了直观的几何模型。从这一意义上来讲,数轴的数学本质是一个数学模型。

一、  数轴的数学特征

数轴有哪些特征?数轴对于小学生认数有哪些帮助?我们教学中该如何运用好数轴帮助学生建立大数系的概念?这是我们每一个小学数学教学工作者必须深入思考和回答的问题。小学生从认识一个苹果、两个气球、三只小鸟、四只蝴蝶等一个个具体的物体开始认识自然数,从具体事物再到符号化的数字,其实就是一个数学抽象的过程,因为生活中实际不存在1、2、3、4、5……这些自然数的数字,只存在具体的物体。认识自然数之后再认识分数(小数可以看成特殊的分数)、负数、有理数、无理数、复数……数轴对学生认数和数系知识的不断扩展有着举足轻重的作用。  数轴的特征主要有:

1、  方向性

数轴是标有方向的一条直线,因此画数轴时一定要画出正方向,画水平数轴时一般正方向向右,画垂直数轴时一般正方向向上。在小学里以水平方向的正半轴为主,帮助学生建立数轴的概念,教学中要让学生充分体会到从左向右,数越来越大,从右向左,数越来越小。右边的数总是比左边的数大,左边的数总是比右边的数小,这是位值概念;向右变大,向左变小,这是数的变化趋势,是动态的数与数之间的联系。这些是小学生初步认识数轴必须建立的基础知识。

2、  顺序性

数轴上的数是有序排列的,以自然数为例,其顺序从左向右依次为0、1、2、3、4……这是按照自然数的序数逻辑来排列的。两千多年前,老子《道德经》中说“道生一,一生二,二生三,三生万物”。在思想上和序数的构造不谋而合。“道生一”相当于从“无序”开始有序,即由零到一,产生顺序。“一”再添上“一”,就得到自然数“二”,“二”再添上“一”(即“一” 添上“一”, 再添上“一”)就得到自然数“三”,等等。右边一个数总比左边一个数大1,左边一个数总比右边一个数小1。所以在教学中经常出现小朋友排队的情境图,要让小学生不仅知道一共有多少小朋友排队,而且要理解每个小朋友从左向右数是第几个。这里的“几个”与“第几”其实就是自然数基数和序数的两个本质特质。数轴的顺序性其实就是自然数的序数性,数轴只不过是抽象的序数的一个直观图而已。建立了数轴的顺序性,学生可以利用这一特征补充数轴。如苏教版一年级上册第25页第2题(如下图),学生根据右边的数比左边大1,左边的数比右边小1,可以知道“1”的右边应该填“2”(或叫“3”的左边填“2”),找到规律,问题将迎刃而解。

3、  无限性

数轴是一条直线,直线是可以向两端无限延伸的,所以数轴具有向两端无限延伸这一特征。认识自然数时,使学生体会到向右有无数个数,没有尽头,所以没有最大的自然数;认识负数时,使学生体会到向左也有无数个负数,也没有尽头,所以也没有最小的负数。无限性还体现在数系结构的扩展上。以小数教学为例。如下图,把“0”到“1”之间的单位长度平均分成10份,“0”和“1”之间产生了0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9这9个新数。

推而广之,把“0”到“0.1”之间的单位长度平均分成10份,“0”和“0.1”之间产生了0.01、0.02、0.03、0.04、0.05、0.06、0.07、0.08、0.09这9个新数(如下图)。以此类推,直至无穷。在教学时要让学生借助形象直观的数轴和抽象的数学推理,在头脑中建立数无穷这一宏观的数系结构,有利于激发学生数学探究兴趣,保证学生知识结构的科学与合理,为学生后续数学学习留有足够的空间。

4、  对应性

因为直线是由无穷多个点连接而成的,无论多么小的两个点之间总存在着无穷多个点,直线是向两端无限延伸的;数的性质也是如此,无论多么小的两个之间也存在着无穷多个数,没有最大数,也没有最小的数。数的结构由于和直线存在着相同的属性,因此可以用直线上的点来表示数,于是才有了数轴。每一个实数总是对应着数轴上一个点,反过来,数轴上的一个点就对应着一个实数,人类发明了数轴,就将抽象的数(实数)和直观形象的直线上的点建立了一一对应的联系。

5、  对称性

完整的数轴是以“0”原点为中心左右对称的,与原点距离相同的两个点所表示的两个数为相反数,这两个相反数关于原点中心对称。任意一个数与原点的距离就是它的绝对值。同样,两个数在数轴上的距离也可以表示为两个数的差的绝对值。根据数轴的对称性这一特征,我们可以知道,原点右边的“1”一定对应着左边一个“-1”; 右边的“2”一定对应着左边一个“-2” ……以此类推,直至无穷。

三、有关教学建议

在小学虽然没有完整揭示数轴的概念,但是数轴在小学数学中的渗透可以说是相当充分的。从一年级上册的“认识10以内数”、到“认识百以内、万以内的数”再到“认识亿以内的数”;从认识一位小数、到认识两位小数、三位小数;从认识,到认识带分数;从认识自然数到小数、分数、负数等等,教材中大量使用了数轴。学生生活中熟悉的直尺、温度计等可以看做数轴的生活原型,从原型到模型是一个数学化的抽象过程,也是学生认识上的一次飞跃。

1、  要有整体和联系的观点

在数轴渗透教学中,要有整体观和联系观,不能仅仅停留在一个题目的完型填空上。要引导学生发现题目之外奥妙无穷。例如一年级上册第100页“期末复习”第1题(如下图),让学生看图寻找规律填数。这就需要学生建立数与数之间的联系,左边的数小,右边的数大,相邻的两个数相差1,有了这样的认识之后学生能够顺利填出空格里的数。教师还可以进一步启发学生思考“9的前面还有哪些数?20的后面呢?”,使学生用运动的发展的联系的观点建立一个整体的大数轴概念。 

2、  要有方向和顺序的感觉

在认数教学中,无论是自然数的认识,还是负数的初步认识,一定要帮助学生建立方向感和顺序感。擅长开车的人方向感非常好,在借助数轴来认数时,也要加强方向感,使学生在头脑中建立数轴的表象,向右数越来越大,向左数越来越小,而且数轴上的数不是争先恐后杂乱无章排列的,而是按照从左向右从小到大依次排列的,这样有序有向无穷的排列是数系结构的一个基本特征,也是学生建立数感的逻辑起点。

3、  要渗透若干数学思想

数轴,是一个重要的数学教学资源,也是学生学好数学的一个重要工具。在教学中要注意渗透数形结合思想、一一对应思想、微分和数无穷思想,利用数轴还可以帮助学生建立数学模型,发展学生模型思想。

总之,教材中从一年级上册开始大量编排了数轴(主要是正半轴),其编排意图十分明显,就是要充分凸显数轴的教学价值。我们要深入理解数轴的数学内涵,充分挖掘数轴的数学价值,发挥数轴的作用与功能,帮助学生建立大数学观,培养学生数学素养。 

参考文献:

1、张奠宙等,小学数学研究, [M].北京:高等教育出版社,2009.

2、孙宏安,中国古代数学思想,[M].大连:大连理工大学出版社,2008.

3、宋乃庆、张奠宙主编,小学数学教育概论,[M].北京:高等教育出版社,2009.

 

 

 

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