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——做学生数学发现的引路人

 
 
 

日志

 
 
关于我

我,70后,中学高级教师,江苏省优秀青年教师、省特级教师后备,省教海探航杰出水手,无锡市名教师、无锡市优秀教育工作者、无锡市行知式青年教师,江苏省教育学会小学数学专业委员会会员、历任江苏省江阴市华士实验小学教导主任、校长办公室主任,新桥小学副校长,江阴市教育学会小学数学专业委员会副秘书长、江阴市小学数学中心组成员。三次获江苏省教海探航征文一等奖,三次获得省杏坛杯征文一等奖,连云港市中小学青年教师教学基本功大赛一等奖,有近200篇文章在《人民教育》《教学与管理》等核心期刊或主流期刊发表。

 
 

50、关于《圆的面积》的若干思考(二)  

2009-05-25 10:04:30|  分类: 教育日记 |  标签: |举报 |字号 订阅

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对比三套教材,根据学生学习的实际需要和认知难点,我着重作了如下思考:为什么要学圆的面积?面积和周长有什么区别?如何初步感知圆的面积大约是多少?如何精确计算圆的面积究竟是多少?圆的面积计算公式可以通过哪些方法推导得来?圆的面积计算公式推导的数理依据是什么?这一计算方法的数学文化可以做哪些介绍?学了计算公式可以解哪些生活中的实际问题?……这一系列基于学情和知识结构的教学问题,研究与解决这些问题就形成了我的教学目标和教学重点。

1、为什么要学习圆的面积?我觉得还是要回到生活中去创设生活情境,当生活中有实际需要时,解决问题才不觉得是勉为其难。人教版的“圆形草坪占地面积是多少平方米?”,北师版的“喷水头转动一周可以浇灌多大面积的农田?”都是基于生活、基于问题解决的数学问题情境。在这样的问题情境中,学生努力回忆已学旧知,尝而不得,成功创设认知障碍,为后续学习解决这一问题从而使每一个学生获得学习的成功体验做好铺垫。

2、面积和周长是两个不同的概念,就数学本质来将,所有的周长都是线,正方形的周长是四条边线的总和,三角形的周长是三条边线的总和;所有的面积都是面。圆和前面学过的几种平面图形有着很大的不同,学生以前学习的都是有线段围成的直线图形。学生对于周长的学习只是在三年级时学习了长方形和正方形的周长,前一节课学习的圆的周长是学生在小学阶段学习的第三种平面图形的周长,这里学习圆的面积从概念理解上有必要引导学生区分圆的周长与面积。我的设想引导学生用一个字概括周长——线,用一个字概括面积——面。同时让学生用手势来表示圆的周长在哪里?(学生用一个手指划圈)圆的面积又在哪里?(学生用整个手掌抹面)

3、如何初步感知圆面积的大小?苏教版例7的编排略显啰嗦。实际上只要让学生感知圆的面积比外切正方形小,也就是圆的面积比它的半径平方的4倍小;比它的内接正方形大,也就是比圆的面积比半径平方的2倍大。在这一点上北师版教材处理要好一些。“要知道半径是5米的圆的面积”“可以在方格纸上画圆,再来估算圆的面积”,确切的来说,应该是在方格纸上画出半径是5米的喷灌圆形的示意图。在方格纸上画图,用数方格来计量圆的面积实际上是遵循了面积的数学本质,我们知道所谓长度的计量就是由若干个长度单位首位连接起来的集合,也可以是用1个1厘米的长度单位度量n次所得。例如5厘米就是5段1厘米的长度单位首位连接就是5厘米;或者是用1个1厘米的标准长度度量5次就是5厘米。一个平面图形面积的大小也是用面积单位来度量的结果,含有3个1平方厘米的面积单位就是3平方厘米,含有21个1平方分米的面积单位就是21平方分米。因为面积单位最初都是以小正方形来引入的,所以在方格图上画示意图具有理论依据和学情根据,便于学生理解和接受。学生学习的长方形面积公式的推导就是采用数方格的方法推导出来的,通过数方格发现一个长方形的面积就是长里的长度与宽里的长度的积,这里的积实际上是长方形含有的面积单位的数量。之后的正方形、平行四边形、三角形和梯形实际上都是源于长方形的面积公式的推论,因为长方形的面积公式已经经过推导和证明,可以作为数学定理来应用。如果实在要将正方形、平行四边形、三角形和梯形还原到数学知识的源头来研究的话,正方形是特殊的长方形,所以用数方格得到的长方形的面积计算公式对正方形来完全适用,平行四边形通过剪拼可以转化为一个面积完全相等的长方形,平行四边形的底和长方形相等,高和长方形的宽相等,这样就架构了两者之间的内在联系,而不需要再追溯到方格上去研究平行四边形的面积的了,三角形和梯形同样如此。

同样研究圆的面积也采用数方格的方法具有实效性,因为学生在认识圆的特征时已经初步感知圆的大小和半径的长短有关,这里采用数方格的方法进一步来验证前面获得的数学经验。学生容易发现圆的面积的确和半径的长短有关,都是半径平方的三倍多一些。

3、如何精确计算圆的面积究竟是多少?就需要一起研究圆的面积计算公式。同时也是进一步探究“圆的面积究竟是半径平方的多少倍呢?”圆的面积计算公式可以通过哪些方法推导得来?转化是一个非常有效的策略。对于前面几种已学图形的面积来讲,由于都是线段围成的直线图形,面积推导中运用的转化思想是显性的,如将平行四边形转化成长方形,将三角形转化成平行四边形或长方形等。而圆的面积对于学生来说运用转化的思想是重点但不是难点,由于圆是曲边图形的问题使得学生不知该如何转化成他们所熟悉的直线图形成为了本课的一大难点。因为凭借学生的操作得到不是学生元认知中的标准图形,只是有点像而已。以往的转化无论是两个完全一样的三角形拼成平行四边形,还是平行四边形剪拼成一个长方形,都是所见即所得的实实在在的转化,结果可见,从而降低了学生的认知难度。而圆因为是曲线图形,仅仅用简单的几次等分拼接不能得到标准的已学图形,还需要凭借学生的逻辑推理,获得理性上的结论。所以感性的操作是圆面积推导的基础,而理性的思辨却是圆面积推导的关键。

折一折,将圆折成相等的扇形,折的份数越多,这样的扇形就越像三角形,求出一个三角形的面积再乘份数可以求出圆的大概面积。在这里实际是借鉴了刘徽的割圆术来实现图形的转化。

剪一剪,拼一拼。不要直接引导学生“请大家沿着圆的半径将圆剪成若干等份,拼一拼”,而是先引导学生思考“我们已知圆的半径的长度”,要想将圆转化为我们熟悉的图形,可以怎样剪?沿着哪里剪?这样开放的设问,有助于学生思维的发展。有的学生就是想到对折后再对折,剪掉弧形得到正方形,再对折后得到正8边形,那样就接近圆的面积了。沿着半径等分剪开后,可以引导学生从等分4等份的开始想起,从有些轮廓到,有点像,再到更像,使学生感知图形的变化趋势,并作出数理上的逻辑分析和推理。这样在有限的操作中获得初步的无限的想象和推理。然后借助多媒体课件用更多的有限来证明无限的想象和逻辑上的推理,将形变量夹逼思想在学生实实在在的探究过程完全暴露在思维的最前沿。

4、圆面积的研究历史,我们可以追溯到魏晋时期的刘徽,刘徽的贡献现在多数时候都认为他对圆周率的贡献最大,实际刘徽是采用圆内接正多边来研究圆的面积,发现圆内接正多边形边数越多,正多边形的面积就越接近圆的面积,一直内接到正192边形。从而证明了《九章算术》中第一章“方田”中的“半周半径相乘得积步”的圆面积公式。

刘徽用割圆术证明“半周半径相乘得积步”的圆面积公式时,从内接正六边形(“六觚”)开始割圆,依次得到内接正十二边形(“十二觚”)、正二十四边形(“二十四觚”)、……,“割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”[10],认为割圆到最后得到一个和圆重合的正无穷多边形。他把这个和圆重合的多边形(“觚之细者”)分割成无限多个小三角形(有人认为刘徽是把多边形分割成筝形,这似是而非。诚然,在求正6边形面积时,刘徽分割成3个筝形来处理,求正12边形面积时他也是分割成6个筝形来处理,等等;但是刘徽说“以一面乘半径,觚而裁之”,这个“觚”是不可再割的极限状态下与圆重合的觚,“一面”乃是此觚之一边,它乘半径,当然不会是另一个由两个更小的三角形组成的筝形的面积,否则此觚就还可再割了。而从行文来看,也是按此觚之一边来“裁”的,此一边已是分割到最后所得的一边。至于6边形分成3个筝形来处理之类,实为具体计算之方便),由于每个三角形的面积的是其底边与圆半径乘积的一半,于是,刘徽就可以合并求和而得到这个正无穷多边形的面积公式,从而也就得到了圆的面积公式。

利用边数增加的圆内接正多边形逼近圆,当边数增加到无穷多时,这个正无穷多边形就和圆重合,这种处理并非始于刘徽。公元前5世纪的安提丰(Antiphon)探讨化圆为方问题时,先作一个内接多边形,例如一个正方形,然后作每一边的中垂线各交圆于一点,把每一点和与之相邻的正方形的顶点联结起来,于是得到一个正八边形,按照这样的方式不断进行下去,最后他得到一个多边形,其边和圆弧重合,圆便为它所穷尽了。梁宗巨、王青建认为刘徽把边数不断增加的正多边形看成和圆越来越接近,以至最后与圆重合的思想,和安提丰的思想相一致。

经过上面一系列问题的深入研究,我的教学思路也就逐渐清晰明朗了。

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